常微分方程笔记

最近面临期末，之前还剩了个微分方程没有学，发现要记的还挺多的，就做些笔记，以下笔记较为精简，部分条件未给出（例如导数存在）

研究微分方程的目的

在实际构建函数的过程中，人们发现一些函数不容易直接得到，但是一些函数可以通过建立一个导数和函数的关系式来解得，在力学，天文学，物理学及技术科学等中应用广泛

微分方程基本概念

定义

含有未知函数与未知函数的导数（即微分）的方程称为微分方程

或
F(x,y,y’,y’’…y^(n)^)=0

常微分方程的定义

未知函数都是一元的函数称为常微分方程

线性

定义中y’,y’’等都是未知函数的一次式，满足这一特征的为线性微分方程

阶

微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶

解

若y=y(x)代入到方程中，能使其为恒等式，则y=y(x)为区间I上的一个解。

通解

n阶微分方程有n个任意常数，通解可表达为：
y=y(x,C1,C2,C3,…，Cn)

定解条件

若结合实际情况，微分方程还需满足其他条件，这些条件称为定解条件

定解问题和特解

带有定解条件的微分方程的求解问题称为定解问题，所求解为特解

初值条件和初值问题

从n阶微分方程的通解中确定一个定解，需要n个定解条件，这种形式的条件为初值条件，求解的问题为初值问题

一阶常微分方程的初等解法

分离变量

对于形如y’=f(x)g(y) 的函数，可以通过将x,y分到等式两边，通过求积分消除dx,dy

变量代换-可化为分离变量的微分方程

一些微分方程本身不可变量分离，但是可以通过合适的变换来转化
例如形如的微分方程，可以通过令z=y/x来转化。

线性微分方程解的结构

n阶齐次微分方程解的结构

n阶齐次微分方程的解由n个线性无关的解构成

n阶非齐次微分方程解的结构

由上述对应齐次方程的解再加上一个特解

待定系数法

用于常系数非齐次微分方程求解：先通过特征方程求得特征根，再进行适当的“猜测”