常微分方程笔记
最近面临期末,之前还剩了个微分方程没有学,发现要记的还挺多的,就做些笔记,以下笔记较为精简,部分条件未给出(例如导数存在)
研究微分方程的目的
在实际构建函数的过程中,人们发现一些函数不容易直接得到,但是一些函数可以通过建立一个导数和函数的关系式来解得,在力学,天文学,物理学及技术科学等中应用广泛
微分方程基本概念
定义
含有未知函数与未知函数的导数(即微分)的方程称为微分方程
或
F(x,y,y’,y’’…y^(n)^)=0
常微分方程的定义
未知函数都是一元的函数称为常微分方程
线性
定义中y’,y’’等都是未知函数的一次式,满足这一特征的为线性微分方程
阶
微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶
解
若y=y(x)代入到方程中,能使其为恒等式,则y=y(x)为区间I上的一个解。
通解
n阶微分方程有n个任意常数,通解可表达为:
y=y(x,C1,C2,C3,…,Cn)
定解条件
若结合实际情况,微分方程还需满足其他条件,这些条件称为定解条件
定解问题和特解
带有定解条件的微分方程的求解问题称为定解问题,所求解为特解
初值条件和初值问题
从n阶微分方程的通解中确定一个定解,需要n个定解条件,这种形式的条件为初值条件,求解的问题为初值问题
一阶常微分方程的初等解法
分离变量
对于形如y’=f(x)g(y) 的函数,可以通过将x,y分到等式两边,通过求积分消除dx,dy
变量代换-可化为分离变量的微分方程
一些微分方程本身不可变量分离,但是可以通过合适的变换来转化
例如形如的微分方程,可以通过令z=y/x来转化。
线性微分方程解的结构
n阶齐次微分方程解的结构
n阶齐次微分方程的解由n个线性无关的解构成
n阶非齐次微分方程解的结构
由上述对应齐次方程的解再加上一个特解
待定系数法
用于常系数非齐次微分方程求解:先通过特征方程求得特征根,再进行适当的“猜测”